Bài 20: Mạch dao động

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Mạch dao động gồm một tụ điện có điện dung C mắc với một cuộn cảm có độ tự cảm L thành mạch kín

Nếu điện trở của mạch rất nhỏ (r = 0) thì mạch là mạch dao động lí tưởng.

2. Sự biến thiên điện tích và cường độ dòng điện trong mạch dao động lí tưởng

Điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện i trong mạch dao động biến thiên điều hòa theo thời gian, i sớm pha \[\frac{\pi }{2}\] so với q

+ \[\;q{\rm{ }} = {\rm{ }}{q_0}cos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\]

+ \[i{\rm{ }} = {\rm{ }}{I_0}cos(\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi {\rm{ }} + \frac{\pi }{2})\]

Trong đó:  \[{I_0} = \omega q\]

                \[\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\]

3. Dao động điện từ tự do

Sự biến thiên điều hòa theo thời gian của điện tích q của một bản tụ điện và cường độ dòng điện I (hoặc cường độ điện trường \[\overrightarrow E \] và cảm ứng từ \[\overrightarrow B \]) trong mạch dao động được gọi là dao động điện từ tự do.

4. Chu kì và tần số dao động riêng của mạch dao động:

\[T = 2\pi  = \sqrt {LC} \]

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\]

5. Năng lượng điện từ

- Năng lượng điện trường tập trung ở tụ điện:

\[{W_c} = \frac{1}{2}C{u^2} = \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C} = \frac{{q_0^2{{\cos }^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)}}{{2C}}\]

- Năng lượng từ trường tập trung ở cuộn cảm:

\[{W_L} = \frac{1}{2}L{i^2} = \frac{{q_0^2{{\cos }^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)}}{{2C}}\]

Tổng năng lượng điện trường trong tụ điện và năng lượng từ trường trong cuộn cảm của mạch gọi là năng lượng điện từ.

\[W = {W_L} + {W_c} = \,\frac{1}{2}L{i^2} + \frac{1}{2}C{u^2}\]

Nếu không có sự tiêu hao năng lượng thì năng lượng điện từ trong mạch sẽ được bảo toàn.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Trong một mạch dao động LC có tụ điện là 5μF, cường độ tức thời của dòng điện là i = 0,05sin2000t (A). Độ tự cảm của tụ cuộn cảm là bao nhiêu ?

Giải:

\[{\omega ^2} = \frac{1}{{LC}} =  > L = \frac{1}{{{\omega ^2}C}} = \frac{1}{{{{2000}^2}{{.5.10}^{ - 6}}}} = 0,05H\]

Bài 2: Một mạch dao động LC gồm tụ điện có điện dung C = 40pF và cuộn cảm có độ tự cảm L = 10μH. Ở thời điểm ban đầu, cường độ dòng điện có giá trị cực đại và bằng 0,05A. Biểu thức hiệu điện thế ở hai cực của tụ điện?

Giải:

Biểu thức cường độ dòng điện \[i{\rm{ }} = {\rm{ }}{I_o}cos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\]

- Tần số góc riêng \[\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = {5.10^7}(rad/s)\]

- Cường độ dòng điện cực đại \[{I_o}\; = {\rm{ }}0,05A\]

- Lúc \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}th\`i {\rm{ }}i{\rm{ }} = {\rm{ }}{I_o}\; \to {\rm{ }}cos\Phi {\rm{ }} = {\rm{ }}1 \to {\rm{ }}\Phi {\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Vậy \[i{\rm{ }} = {\rm{ }}0,05cos\left( {{{5.10}^7}t} \right){\rm{ }}\left( A \right)\]

    + Điện tích q trên tụ trễ pha hơn i góc \[\pi /2\] nên \[q{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_o}cos\left( {{{5.10}^7}t{\rm{ }} - {\rm{ }}\pi /2} \right){\rm{ }}\left( C \right)\]

    + Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện

\[u = \frac{q}{c} = \frac{{{Q_0}\cos ({{5.10}^7}t - \frac{\pi }{2})}}{C}\,(V)\] Trong đó \[{Q_0} = \frac{{{I_0}}}{\omega } = {10^{ - 9}}(C)\]

    + Điện áp giữa hai đầu tụ điện

\[u = \frac{{{{10}^{ - 9}}}}{{{{4.10}^{ - 11}}}}\cos \left( {{{5.10}^7}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 25\cos \left( {{{5.10}^7}t - \frac{\pi }{2}} \right)\,\,(V)\]

Bài 3: Nếu nối hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần L mắc nối tiếp với điện trở thuần R = 1ω vào hai cực của nguồn điện một chiều có suất điện động không đổi và điện trở trong r thì trong mạch có dòng điện không đổi cường độ I. Dùng nguồn điện này để nạp điện cho một tụ điện có điện dung C = 2.10-6 F. Khi điện tích trên tụ điện đạt giá trị cực đại, ngắt tụ điện khỏi nguồn rồi nối tụ điện với cuộn cảm thuần L thành một mạch dạo động thì trong mạch có dao động điện từ tự do với chu kì bằng π.10-6 s và cường độ dòng điện cực đại bằng 8I. Giá trị của r bằng bao nhiêu ?

Giải:

Ta có:

\[I = \frac{E}{{R + r}};T = 2\pi \sqrt {LC}  \to L = \frac{{{T^2}}}{{4{\pi ^2}C}} = 0,{125.10^{ - 6}}H\]

Khi dùng nguồn E để nạp điện cho tụ thì U0 = E.

\[{I_0} = 8I = 8\frac{E}{{R + r}} = \sqrt {\frac{C}{L}} {U_0} = \sqrt {\frac{C}{L}} E \to r = \sqrt {\frac{{64L}}{C}}  - R = 1\,\Omega \]

Bài 4: Trong mạch dao động, khi mắc cuộn dây có có độ tự cảm \[{L_1}\], với tụ điện có điện dung C thì tần số dao động của mạch là \[{f_1}\; = {\rm{ }}120kHz\]. Khi mắc cuộn dây có độ tự cảm \[{L_2}\]với tụ điện có điện dung C thì tần số dao động của mạch là \[{f_2}\; = {\rm{ }}160kHz\]. Khi mắc \[{L_1}\] nối tiếp \[{L_2}\] rồi mắc vào cuộn cảm L thì tần số dao động của mạch là bao nhiêu?

Bài 5: Trong mạch dao động, khi mắc tụ điện có điện dung \[{C_1}\] với cuộn cảm L thì tần số dao động của mạch là \[{f_1}\; = {\rm{ }}60kHz\]. Khi mắc tụ có điện dụng C2 với cuộn cảm L thì tần số dao động của mạch là \[{f_2}\; = {\rm{ }}80kHz\]. Khi mắc \[{C_1}\] song song với \[{C_2}\] rồi mắc vào cuộn cảm L thì tần số dao động của mạch là bao nhiêu?

Bài 6: Mạch dao động điện từ điều hoà LC gồm tụ điện C = 30nF và cuộn cảm L = 25mH. Nạp điện cho tụ điện đến hiệu điện thế 4,8V rồi cho tụ phóng điện qua cuộn cảm, cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch là bao nhiêu?

Bài 7: Có hai mạch dao động điện từ lý tưởng đang có dao động điện từ tự do. Ở thời điểm t, gọi \[{q_1}\] và \[{q_2}\] lần lượt là điện tích của tụ điện trong mạch dao động thứ nhất và thứ hai. Biết \[36{q_1}^2\; + {\rm{ }}36{q_2}^2\; = {\rm{ }}{24^2}\;{\left( {nC} \right)_2}\]. Ở thời điểm \[t{\rm{ }} = {\rm{ }}{t_1}\], trong mạch dao động thứ nhất : điện tích của tụ điện \[{q_1}\; = {\rm{ }}2,4nC\] ; cường độ dòng điện qua cuộn cảm \[{i_1}\; = {\rm{ }}3,2mA\]. Khi đó, cường độ dòng điện qua cuộn cảm trong mạch dao động thứ hai là bao nhiêu?

Bài 8: Trong một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với điện tích trên một bản của tụ điện có biểu thức là . Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là \[q{\rm{ }} = {\rm{ }}{3.10^{ - 6}}cos2000t\](C). Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là bao nhiêu?

Bài 9: Một mạch dao động LC lý tưởng đang thực hiện dao động điện từ tự do. Biết điện tích cực đại của tụ điện là \[{q_0}\;\] và cường độ dòng điện cực đại trong mạch là \[I0\]. Tại thời điểm cường độ dòng điện trong mạch bằng \[0,5{I_0}\;\] thì điện tích của tụ điện có độ lớn bao nhiêu ?

Bài 10: Một mạch dao động gồm một cuộn dây có độ tự cảm L = 2 mH và một tụ điện có điện dung là C = 3 nF, điện trở của mạch là R = 0,1ω. Muốn duy trì dao động trong mạch với hiện điện thế cực đại trên tụ là 10 V thì phải bổ sung cho mạch một năng lượng có công suất là bao nhiêu ?

Bài 11: Tích điện tích \[{Q_0}\; = {\rm{ }}{2.10^{ - 6}}\;C\] vào một tụ điện của một mạch dao động rồi cho nó phóng điện trong mạch. Do cuộn cảm có điện trở nên dao động điện từ trong mạch tắt dần. Bỏ qua năng lượng do bức xạ sóng điện từ , tính nhiệt lượng tỏa ra trong mạch cho đến khi dao động tắt hẳn biết điện dung của tụ điện là 0,05 μF

Bài 12: Một mạch dao động mà cuộn dây có điện trở thuần r = 0,02 ω, độ tự cảm L = 2 mH, điện dung của tụ điện là 5000 pF. Nhờ được cung cấp một cụng suất điện là P = 0,04 mW mà dao động điện từ trong mạch được duy trì, điện áp cực đại giữa hai bản tụ khi đó là bao nhiêu ?