Bài 2: Con lắc lò xo

I. Tóm tắt lý thuyết:

A. Con lắc lò xo

- Con lắc lò xo gồm một vật nặng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k và có khối lượng không đáng kể.

- Con lắc có một vị trí cân bằng mà khi ta thả vật ra, vật sẽ đứng yên mãi. Nếu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng buông ra vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng giữa hai biên

B. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học

- Xét vật ở li đọ x, lò xo giãn một đoạn Δl=x, lực đàn hồi của lò xo F=−kΔl

Phương trình dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học là:

\[F = ma =  - kx\;\] hay \[a =  - \frac{k}{m}x\]

Trong đó:

F: là lực tác dụng lên m

x: là li độ của vật

k: độ cứng của lò xo

dấu (-) chỉ ra rằng lực \[\overrightarrow F \] luôn hướng về vị trí cân bằng.

- Đặt \[{\omega ^2} = \frac{k}{m} \to a + {\omega ^2}x = 0\]

- Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa:

+ Tần số góc: \[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \]

+ Chu kì: \[T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]

- Lực luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Nó có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.

C. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt năng lượng

1. Động năng của con lắc lò xo

- Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:

\[{W_đ} = \frac{1}{2}{m^2}\,(J)\]

2. Thế năng của con lắc lò xo

\[{W_t} = \frac{1}{2}k{x^2}\,(J)\]

3. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng

- Cơ năng của con lắc:

\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{x^2}\,(J)\]

- Khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại.

\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} + \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\, = const\]

*Nhận xét:

- Động năng và thế năng của con lắc lò xo biến thiên điều hòa cùng tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kì \[\frac{T}{2}\].

- Thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng bằng thế năng là \[\frac{T}{4}\]

- Cơ năng của con lắc lò xo luôn được baeo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Hai lò xo \[{k_1},{\rm{ }}{k_2}\] có cùng độ dài. Một vật nặng M khối lượng m khi treo vào lò xo k1 thì dao động với chu kì \[{T_1}\; = {\rm{ }}0,3{\rm{ }}s\] , khi treo vào lò xo \[{k_2}\] thì dao động với chu kì \[{T_2}\; = {\rm{ }}0,4{\rm{ }}s\]. Nối hai lò xo với nhau thành một lò xo dài gấp đôi rồi treo vật nặng M vào thì M sẽ do động với chu kì bao nhiêu?

Giải:

Gọi k là độ cứng khi ghép nối tiếp 2 lo xo với nhau

Ta có:

\[\frac{1}{k} = \frac{1}{{{k_2}}} + \frac{1}{{{k_3}}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {m(\frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}})} \]

Theo giả thiết:

\[{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_1}}}} \] ; \[{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_2}}}} \]  

\[\begin{array}{l}
 =  > {T^2} = T_1^2 + T_2^2 = 0,25\\
 =  > T = 0,5\,(s)
\end{array}\]

Bài 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, gồm lò xo độ cứng 100 N/m và vật nặng khối lượng 100 (g). Giữ vật theo phương thẳng đứng làm lò xo dãn 3 (cm), rồi truyền cho nó vận tốc \[20\pi \sqrt 3 \] (cm/s) hướng lên thì vật dao động điều hòa. Lấy \[{\pi ^2}\; = {\rm{ }}10\]; gia tốc trọng trường \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)\]. Biên độ dao động là bao nhiêu ?

Giải:

\[\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}}  = 10\pi \,(rad/s);\,\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = 1(cm)\]

 

\[\left. \begin{array}{l}
\left| {{x_0}} \right| = \left| {\,\Delta l - \,\Delta {l_0}} \right| = 2\,(cm)\\
\left| {{v_0}} \right| = 20\pi \sqrt 3 \,(cm/s)
\end{array} \right\} \Rightarrow A = \sqrt {x_0^2 + \frac{{v_0^2}}{{{\omega ^2}}}}  = 4\,(cm)\]

 

Bài 3: Một con lắc lò xo gồm vật nặng 0,2 kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 20 N/m. Kéo quả nặng ra khỏi vị trí cân bằng rồi thả nhẹ cho nó dao động, tốc độ trung bình trong 1 chu kì là \[160/\pi {\rm{ }}cm/s.\]. Cơ năng dao dao động của con lắc là bao nhiêu ?

Giải:

\[\left\{ \begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = \frac{\pi }{5}s\\
\left| {\overrightarrow v } \right| = \frac{{4A}}{T} \Rightarrow \frac{{160}}{\pi } = \frac{{4A}}{T} \Rightarrow A = 8\,(cm)
\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow W = \frac{{k{A^2}}}{2} = \frac{{20.0,{{08}^2}}}{2} = 0,064\,(J)\]

Bài 4: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc \[40\sqrt 3 \,cm/s\] theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\]. Phương trình dao động của vật nặng.

Giải:

Ta có:

\[\omega  = \sqrt {\frac{g}{{\Delta l}}}  = \sqrt {\frac{{10}}{{0,025}}}  = 20\,rad/s\]

Biên độ dao động:

 \[A = \sqrt {x_0^2 + \frac{{v_0^2}}{{{\omega ^2}}}}  = \sqrt {{{(2)}^2} + \frac{{{{(40\sqrt 2 )}^2}}}{{{{20}^2}}}}  = 4\,\,cm\]

Pha ban đầu của dao động:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = A\cos \varphi  = 4\cos \varphi  =  - 2\\
v =  - \omega A\sin \varphi  < 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \,\cos \varphi  = \frac{1}{2} = \cos ( \pm \frac{{2\pi }}{3})\\
 \Rightarrow \,\varphi  = \frac{{2\pi }}{3}
\end{array}\]

Vậy phương trình dao động của vật: \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}4cos\left( {20t{\rm{ }} + {\rm{ }}2\pi /3} \right){\rm{ }}cm.\]

Bài 5: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc \[\omega {\rm{ }} = {\rm{ }}10\pi {\rm{ }}\left( {rad/s} \right)\]. Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18 cm đến 22 cm. Chọn gố tọa độ tại VTCB. chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là bao nhiêu ?

Bài 6: Hai lò xo có cùng độ dài. Một vật nặng M khối lượng m khi treo vào lò xo thì dao động với chu kì , khi treo vào lò xo thì dao động với chu kì . Nối hai lò xo với nhau cả hai đầu để được một lò xo cùng độ dài, một đầu gắn cố định, đầu còn lại treo vật nặng M thì chu kì dao động của vật là bao nhiêu ?

Bài 7: Một lắc lò xo có độ cứng 100 (N/m) treo thẳng đứng, đầu dưới treo một vật có khối lượng 1 kg tại nơi có gia tốc trọng trường là \[10{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)\] . Giữ vật ở vị trí lò xo còn dãn 7 cm rồi cung cấp vật tốc 0,4 m/s theo phương thẳng đứng. Ở vị trí thấp nhất, độ dãn của lò xo dãn là bao nhiêu ?

Bài 8: Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m , dao động điều hòa với biên độ 0,1 m. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi viên bi cách vị trí cân bằng 6 cm thì động năng của con lắc bằng bao nhiêu ?

Bài 9: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm. Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của con lắc.    

Bài 10: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 0,4 kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 40 N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Phương trình dao động của vật nặng là bao nhiêu ?