Bài 1: Dao động điều hòa

I. Tóm tắt lý thuyết:

A. Khái niệm

- Dao động cơ: Là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí cân bằng (thường là vị trí của vật khi đứng yên).

Ví dụ: chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ neo, chuyển động đung đưa của chiếc lá,…

- Dao động tuần hoàn: Là dao động cơ mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ.

Ví dụ: dao động của con lắc đồng hồ.

- Dao động điều hòa: Là dao động trong đó li độ (vị trí) của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian.( là dao động tuần hoàn đơn giản nhất).

B. Phương trình dao động điều hòa

Một điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó

 

Giả sử tại thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M0 được xác định bằng góc φ

Tại thời điểm t vị trí của M là (ωt+φ)

Khi đó, hình chiếu P của M có tọa độ \[x = \;\overline {OP} \] có phương trình là:

\[x{\rm{ }} = {\rm{ }}OMcos\left( {\omega t + \varphi } \right)\]

Đặt \[OM{\rm{ }} = {\rm{ }}A\], phương trình của tọa độ x được viết thành:

\[x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)\;\] với A,ω,φ là các hằng số.

=> Phương trình trên được gọi là phương trình của dao động điều hòa.

Trong đó:

+ x: li độ của vật

+ A: biên độ của vật (giá trị lớn nhất của li độ)

+ (ωt+φ): là pha dao động tại thời điểm t

+ φ: là pha ban đầu của dao động

C. Chu kì, tần số, tần số góc của dao động điều hòa

1. Chu kì

- Chu kì của dao động điều hòa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần.

- Kí hiệu: T

- Đơn vị: giây (s)

2. Tần số

- Tần số của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.

- Kí hiệu: f

- Đơn vị: Hz

3. Tần số góc:

- Trong dao động điều hòa ωω được gọi là tần số góc:

\[\omega  = \frac{{2\pi }}{2} = 2\pi f\]

- Đơn vị: rad/s

D. Vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa

1. Vận tốc

- Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian.

v = x′ = −ωAsin(ωt+φ)

- Vận tốc là đại lượng biến thiên điều hòa:

+ Ở vị trí biên x= ±A vận tốc bằng 0

+ Ở vị trí cân bằng x = 0 thì vận tốc cực đại vmax=ωA

2. Gia tốc

- Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian

\[a{\rm{ }} = {\rm{ }}v\prime {\rm{ }} = {\rm{ }} - \omega 2Acos\left( {\omega t + \varphi } \right) =  - \omega 2x\]Tại vị trí cân bằng x = 0 => a = 0 và hợp lực F = 0.

Gia tốc luôn ngược dấu với li độ (hay vecto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng) và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.

E. Đồ thị của dao động điều hòa

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.

 

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

Giải:

a) Ta có \[\Delta t{\rm{ }} = {\rm{ }}N.T{\rm{ }} \to {\rm{ }}T{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta t/N{\rm{ }} = {\rm{ }}90/180{\rm{ }} = {\rm{ }}0,5{\rm{ }}s\]

Từ đó ta có tần số dao động là \[f{\rm{ }} = {\rm{ }}1/T{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}\left( {Hz} \right).\]

b) Tần số góc dao động của vật là \[\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,5}} = 4\pi \;(rad/s)\]

Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{V_{\max }} = \omega .A = 4\pi 10 = 40\pi \,cm/s\\
{a_{\max }} = {\omega ^2}.A = {\left( {4\pi } \right)^2}10 = 1600\,cm/s
\end{array} \right.\]

Bài 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 403 \[{40\sqrt 3 }\]cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là bao nhiêu ?

Giải:

Khi chất điểm qua VTCB thì có tốc độ cực đại vmax = Aω = 20 cm/s.

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

\[\frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{\omega ^4}{A^4}}} \to \omega  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{v_{\max }^2 - {v^2}}}}  = \sqrt {\frac{{{{(40\sqrt 3 )}^2}}}{{{{20}^2} - {{10}^2}}}}  = 4\,(rad/s)\]

→ Biên độ dao động của chất điểm là \[A{\rm{ }} = {\rm{ }}{v_{max}}/\omega {\rm{ }} = {\rm{ }}20/4{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}cm.\]

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.

Giải:

Phương trình dao động của vật có dạng: \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}A.cos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right){\rm{ }}cm\]

Trong đó:

- A = 5 cm

- \[f{\rm{ }} = {\rm{ }}N/t{\rm{ }} = {\rm{ }}20/10{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}Hz{\rm{ }} \to {\rm{ }}\omega {\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi f{\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi {\rm{ }}\left( {rad/s} \right).\].

- Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\cos \varphi  = 0\\
v > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos \varphi  = 0\\
\sin \varphi  < 0
\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  =  - \frac{\pi }{2}\]

→ Phương trình dao động của vật là: \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}5cos\left( {4\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}\pi /2} \right){\rm{ }}cm\]

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ 20}}cos\left( {10\pi t{\rm{  +  }}\frac{\pi }{2}} \right){\rm{ }}cm\]. Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.

Giải:

Ta có: 

\[\begin{array}{l}
x{\rm{ }} = {\rm{ 20}}cos\left( {10\pi t{\rm{  +  }}\frac{\pi }{2}} \right){\rm{  =  5}}\\
 \Rightarrow cos\left( {10\pi t{\rm{  +  }}\frac{\pi }{2}} \right){\rm{  =  }}0,2 = \cos ( \pm 0,42)
\end{array}\]

Vì v < 0 nên ta chọn nghiệm:

\[10\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,42\pi {\rm{ }} + {\rm{ }}2k\pi {\rm{ }} \to {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}0,008{\rm{ }} + {\rm{ }}0,2k;\] với k ∈ Z.

Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là t = 0,192 s.

Bài 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}6cos\left( {4\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right)\]. Tính quãng đường vật đi được sau 2,125 s kể từ thời điểm ban đầu?

Bài 6: Một vật dao động điều hòa theo phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}2cos\left( {2\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /4} \right){\rm{ }}cm\]. Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t = 2s đến t = 4,875s là bao nhiêu ?

Bài 7: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}4cos\left( {\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right)\], với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là bao nhiêu ?

Bài 8: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\] và có chu kỳ T. Tính khoảng thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí biên có li độ x = -A/2 đến vị trí \[x = \frac{{A\sqrt 2 }}{2}\] ?

Bài 9: Một vật dao động điều hòa có vmax = 16π (cm/s); amax = 6,4 (m/s2 ). Lấy π2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.

c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ  \[x =  - \frac{A}{2}x = \frac{{A\sqrt 3 }}{2}\]

         

Bài 10: Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo về \[F{\rm{ }} = {\rm{ }}--2cos\left( {4\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right)\] N. Lấy π2 = 10. Biên độ dao động của vật bằng bao nhiêu ?

Bài 11: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox (vị trí cân bằng ở O) với biên độ 4 cm và tần số 10 Hz. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ 4 cm. Phương trình dao động của vật là bao nhiêu ?

Bài 12: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình \[x{\rm{ }} = {\rm{ 4}}cos\left( {\frac{{2\pi }}{3}t{\rm{ }}} \right)\] (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm ?