I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bội chung
Bội chung của hai hay nhiều số là những số chia hết cho tất cả các số đó. Ký hiệu: BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.
Để tìm bội chung của hai số:
Viết tập hợp các bội của từng số.
Tìm các phần tử chung (giao) của các tập hợp đó.
Ví dụ:
Ta có:
B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; …}, B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; …}
⇒ BC(2; 3 = {0; 6; 12; …}
2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)
BCNN của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung. Ký hiệu: BCNN(a, b).
Cách tìm BCNN bằng định nghĩa:
Tìm các bội của từng số.
Chọn bội chung nhỏ nhất khác 0.
Ví dụ:
Ta có:
B(15) = {0; 15; 30; 45; 60; …}
B(20) = {0; 20; 40; 60; 80; …}
⇒ BCNN(15; 20) = 60
3. Tìm BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố
- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Bước 2: Chọn thừa số chung và riêng.
- Bước 3: Nhân các thừa số với số mũ lớn nhất.
Ví dụ:
Ta có: 15 = 3.5
20 = 2².5
⇒ BCNN(15; 20) = 2².3.5 = 60
4. Tìm bội chung thông qua BCNN
Tìm các bội của BCNN chính là tìm bội chung của các số đã cho.
Ví dụ:
Ta có: BCNN(15; 20) = 60
⇒ BC(15; 20) = B(60) = {0; 60; 120; 180; …}
5. Ứng dụng trong quy đồng mẫu số phân số
Muốn quy đồng hai phân số, ta có thể:
Chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.
Hoặc chọn một bội chung bất kỳ của hai mẫu.
Ví dụ:
Quy đồng: 730 và 542
30 = 2.3.5, 42 = 2.3.7
⇒ BCNN = 210
⇒ 730 = 49210 ; 542 = 25210
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Viết tập hợp các bội chung của 4 và 6 nhỏ hơn 50.
Hướng dẫn giải
- Bước 1: Viết các bội của 4 nhỏ hơn 50
B(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}
- Bước 2: Viết các bội của 6 nhỏ hơn 50
B(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}
- Bước 3: Tìm các phần tử chung
BC(4, 6) = {0, 12, 24, 36, 48}
⟹ Đáp án: Tập hợp các bội chung của 4 và 6 nhỏ hơn 50 là {0, 12, 24, 36, 48}
Câu 2: Tìm BCNN của 8 và 12 bằng:
a) Định nghĩa
b) Phân tích ra thừa số nguyên tố
Hướng dẫn giải
a) Định nghĩa:
Tìm các bội chung của 8 và 12, chọn bội chung nhỏ nhất khác 0.
- B(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
- B(12) = {0, 12, 24, 36, 48, …}
→ Bội chung nhỏ nhất khác 0 là 24
⟹ BCNN(8, 12) = 24
b) Phân tích ra thừa số nguyên tố:
- 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
- 12 = 2² × 3
Lấy tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất:
→ BCNN = 2³ × 3 = 24
⟹ Kết luận: BCNN(8, 12) = 24
Câu 3: Quy đồng hai phân số 310 và 512.
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm BCNN của 10 và 12
10 = 2 × 5
12 = 2² × 3
→ BCNN = 2² × 3 × 5 = 60
Bước 2: Quy đồng mẫu số
⟹ Hai phân số đã quy đồng là: 1860 và 2560
Câu 4: Một nhóm học sinh học Tin học mỗi 4 ngày, nhóm học Toán mỗi 6 ngày. Hôm nay cả hai nhóm đều học. Hỏi sau bao nhiêu ngày nữa thì cả hai nhóm lại học cùng ngày?
Hướng dẫn giải
Tìm BCNN(4, 6)
4 = 2²
6 = 2 × 3
→ BCNN = 2² × 3 = 12
⟹ Đáp án: Sau 12 ngày, cả hai nhóm lại học cùng ngày.
Câu 5: Viết tập hợp các bội của 7 và 21, rồi tìm BC(7; 21)
Hướng dẫn giải
- Bội của 7 nhỏ hơn 100 (ví dụ):
B(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}
- Bội của 21 nhỏ hơn 100:
B(21) = {0, 21, 42, 63, 84}
- Tập hợp bội chung:
BC(7, 21) = {0, 21, 42, 63, 84}
⟹ Đáp án: Tập hợp bội chung của 7 và 21 là {0, 21, 42, 63, 84}
