ĐẠO HÀM ĐÃ THAY ĐỔI THẾ GIỚI NHƯ THẾ NÀO?

ĐẠO HÀM ĐÃ THAY ĐỔI THẾ GIỚI NHƯ THẾ NÀO?

Bóng ma của các đại lượng biến mất - Phép tính vi tích phân

Thật trớ trêu, khi Newton công bố các định luật này và những ứng dụng khoa học của chúng trong cuốn Những nguyên lý (Principia) của mình, ông đã xóa sạch mọi dấu vết của giải tích và thay thế chúng bởi các lập luận hình học cổ điển. Có lẽ ông nghĩ rằng hình học sẽ dễ được chấp nhận hơn đối với những độc giả mà ông hướng tới, và nếu làm như thế, ông gần như chắc chắn là mình sẽ đúng. Tuy nhiên, nhiều chứng minh hình học của ông, hoặc là được thúc đẩy bởi giải tích, hoặc phụ thuộc vào việc sử dụng các kỹ thuật giải tích để xác định những câu trả lời đúng đắn. Điều này đặc biệt rõ ràng dưới con mắt hiện đại, trong việc xử lý cái mà ông gọi là các “đại lượng phát sinh” thuộc quyển II của bộ Những nguyên lý. Đó là các đại lượng tăng hay giảm theo “chuyển động liên tục hay dòng chảy (flux)”, tức là các fluxion trong cuốn sách chưa xuất bản của ông. Ngày nay, chúng ta gọi chúng là các hàm liên tục (thực ra là khả vi). Thay vì sử dụng các phép tính tuờng minh của giải tích, Newton đã dùng một phương pháp hình học của các tỉ số “nguyên thủy và tối hậu”. Bổ đề mở của ông (một dạng kết quả toán học phụ trọ được sử dụng lặp đi lặp lại nhưng bản thân nó không có ý nghĩa nội tại), đã tiết lộ tất cả, bởi vì nó định nghĩa sự tương đẳng giữa các đại lượng trôi theo dòng (flowing) như sau:

Trong cuốn Không bao giờ ngơi nghỉ (Never at Rest), người viết tiểu sử Newton là Richard Westfall đã diễn tả bổ đề này là căn bản và mới mẻ như thế nào:

Những người cùng thời Newton đã phải nỗ lực rất nhiều để có thể hiểu về cái mà Newton đã tìm ra. Berkeley có lẽ chưa bao giờ làm được, bởi vì - như chúng ta sẽ thấy ngay dưới đây - nó chứa đựng những ý tưởng căn bản cần thiết để bác bỏ sự phản đối của ông ta.

Do vậy, giải tích đã đóng một vai trò có ảnh huởng to lớn đối với cuốn Những nguyên lý, nhưng nó không một lần xuất hiện trên sân khấu. Mặc dù giải tích chỉ nhìn lén ra từ phía sau cánh gà, những người kế tục về trí tuệ của Newton đã nhanh chóng lần ngược lại quá trình tư duy của ông. Họ viết lại các ý tưởng chính của ông theo ngôn ngữ của giải tích, bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ mới tự nhiên hơn và mạnh hơn, và bắt đầu chinh phục thế giới khoa học.

Đầu mối này thực ra đã có thể nhìn thấy trong các định luật về chuyển động của Newton. Câu hỏi đã dẫn Newton tới những định luật này là một câu hỏi triết học: Điều gì khiến cho một vật chuyển động, hay thay đổi trạng thái chuyển động của nó? Câu trả lời cổ điển là câu trả lời của Aristotle: một vật chuyển động là vì có lực tác dụng lên nó, và điều đó ảnh hưởng tới vận tốc của nó. Aristotle cũng khẳng định rằng để giữ cho một vật chuyển động, phải liên tục tác dụng lực lên nó. Bạn có thể kiểm tra khẳng định của Aristotle bằng cách đặt một quyển sách hay một vật tương tự lên bàn. Nếu bạn đẩy quyển sách, nó sẽ bắt đầu chuyển động và nếu bạn tiếp tục đẩy với một lực có cùng độ lớn thì nó sẽ trượt trên bàn với vận tốc gần như không đổi. Nếu bạn ngừng đẩy, quyển sách sẽ dừng lại. Do vậy, quan điểm của Aristotle có vẻ như phù hợp với thí nghiệm. Tuy nhiên, sự phù hợp này chỉ là bề ngoài mà thôi, bởi vì lực đẩy không phải là lực duy nhất tác dụng lên quyển sách, còn có lực ma sát với bề mặt của bàn nữa. Hơn nữa, quyển sách chuyển động càng nhanh thì ma sát càng lớn - chí ít là trong khi vận tốc của quyển sách vẫn còn đủ nhỏ. Khi quyển sách di chuyển một cách ổn định dọc theo bàn dưới tác dụng của một lực không đổi, thì sức cản ma sát triệt tiêu lực tác dụng ấy, và do vậy tổng tất cả các lực tác dụng lên vật thực tế bằng 0.

Định luật thứ nhất rõ ràng là mâu thuẫn với Aristotle. Định luật thứ ba nói rằng nếu bạn đẩy một vật nào đó, thì nó sẽ đẩy lại. Định luật thứ hai chính là noi mà phép tính vi tích phân xuất hiện. Cụm từ “độ thay đổi của chuyển động” mà Newton dùng ở đây ý nói tốc độ thay đổi vận tốc của vật, cũng tức là gia tốc của nó. Đó là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, và là đạo hàm cấp hai của vị trí. Như vậy, định luật thứ hai của Newton chỉ rõ mối liên hệ giữa vị trí của một vật và các lực tác dụng lên nó, dưới dạng một phương trình vi phân

Để tìm vị trí của vật, ta phải giải phương trình này, tức là suy ra vị trí từ đạo hàm cấp hai của nó. Dòng suy nghĩ này dẫn ta đến một giải thích đơn giản cho những quan sát của Galileo về viên bi lăn. Điểm mấu chốt ở đây là gia tốc của viên bi là hằng số. Tôi đã chỉ ra điều này ở trên, nhờ sử dụng một cách tính thô nhưng đơn giản áp dụng cho những khoảng thời gian rời rạc; bây giờ, chúng ta có thể tính toán một cách chính xác, khi cho phép thời gian biến thiên liên tục. Hằng số này có liên quan tới lực hấp dẫn và góc của mặt phẳng nghiêng, nhưng ở đây chúng ta không cần đi quá sâu vào chi tiết. Giả sử rằng gia tốc không đổi có giá trị là a. Lấy tích phân hàm số tương ứng, ta nhận được vận tốc đi xuống theo mặt phẳng nghiêng ở thời điểm t là at + b với b là vận tốc ở thời điểm ban đầu. Lấy tích phân một lần nữa, ta nhận được vị trí trên mặt phẳng nghiêng ở thời điểm t là    với c là vị trí của vật ở thời điểm ban đầu. Trong trường hợp đặc biệt a = 2, b = 0, c = 0, các vị trí của vật hoàn toàn phù hợp với ví dụ đã đơn giản hóa của tôi: vị trí ở thời điểm t là t². Một phép phân tích đơn giản thôi cũng sẽ khôi phục lại được kết quả chủ chốt của Galileo: đường đi của một viên đạn là một parabol. Các định luật chuyển động của Newton không chỉ cung cấp cho ta cách tính toán chuyển động của các vật, chúng còn dẫn dắt chúng ta đến các nguyên lý sâu sắc và tổng quát của vật lý. Đỉnh cao trong số đó là “các định luật bảo toàn”, cho ta biết rằng khi một hệ chuyển động, dù phức tạp thế nào đi nữa, thì một số đặc trưng của hệ đó là không thay đổỉ. Trong cảnh rối ren của chuyển động, một vài thứ vẫn bình an, không bị ảnh hưởng gì. Có ba đại lượng được bảo toàn, đó là năng lượng, động lượng và momen động lượng.

Năng lượng có thể được định nghĩa là khả năng sinh công. Khi một vật được đưa lên một độ cao nhất định, để chống lại trọng lực (là hằng số), công phải thực hiện để đưa vật lên đó tỉ lệ với khối lượng của vật, với lực hấp dẫn và với độ cao. Ngược lại, nếu sau đó ta thả vật ra, thì nó sẽ thực hiện đúng công nói trên khi nó rơi từ độ cao ban đầu ấy xuống đất. Loại năng lượng này được gọi là thế năng.

Tự bản thân thế năng không có gì quá hấp dẫn, nhưng có một hệ quả toán học đẹp đẽ của định luật thứ hai của Newton dẫn đến loại năng lượng thứ hai: động năng. Khi một vật chuyển động, cả thế năng và động năng của nó đều thay đổi. Nhưng sự thay đổi của loại này chính là phần bù trừ cho sự thay đổi của loại kia. Khi một vật rơi dưới tác dụng của trọng lực, nó tăng tốc. Định luật của Newton cho phép ta tính được sự thay đổi của vận tốc theo độ cao. Hóa ra, độ giảm của thế năng đúng bằng một phần hai khối lượng vật nhân với bình phương của vận tốc. Nếu chúng ta đặt cho đại lượng này một cái tên - động năng - thì khi đó năng lượng toàn phần, gồm thế năng cộng động năng, được bảo toàn. Hệ quả toán học này của các định luật chuyển động của Newton chứng minh rằng không tồn tại các động co vĩnh cửu: không một máy co học nào có thể hoạt động liên tục mãi mãi và sinh công mà không phải cấp thêm năng lượng nào từ bên ngoài. Về mặt vật lý, thế năng và động năng duờng như là hai thứ khác nhau; nhưng về phương diện toán học, ta có thể tráo đổi hai thứ này cho nhau. Cứ như là chuyển động của vật bằng một cách nào đó đã chuyển đổi thế năng thành động năng vậy. “Năng lượng”, một thuật ngữ dùng cho cả hai, là một sự trừu tượng hóa thuận tiện, được định nghĩa một cách cẩn trọng sao cho nó được bảo toàn. Tương tự như vậy, các du khách có thể đổi đồng bảng thành đôla. Đổi tiền luôn có các bảng tỉ giá, ví dụ 1 bảng thì ăn 1,4693 đôla. Tất nhiên, ngân hàng cũng khấu trừ một số tiền dành cho họ. Tùy thuộc vào các chi tiết kỹ thuật của phí ngân hàng, tổng giá trị tiền tệ tham gia giao dịch được cho là cân bằng: du khách nhận lại chính xác số lượng đôla tương ứng với tổng số tiền bảng ban đầu của họ, trừ đi một số chi phí nhất định. Tuy nhiên, không có một thực thể vật lý nào được gắn vào tờ giấy bạc mà bằng cách nào đó có thể lấy ra trao đổi một tờ 1 bảng Anh lấy một tờ 1 đôla cùng với vài đồng xu. Cái dùng để trao đổi ở đây chính là sự quy uớc của con người rằng những tờ bạc đặc biệt này có giá trị tiền tệ.

Động lượng, đại lượng được bảo toàn thứ hai, là một khái niệm đơn giản: nó bằng khối lượng nhân vận tốc. Nó chỉ nhập cuộc chơi khi có vài ba vật. Một ví dụ quan trọng là tên lửa; ở đây một vật là quả tên lửa và vật kia là nhiên liệu của quả tên lửa ấy. Vì nhiên liệu bị động cơ đẩy ra, nên bảo toàn động lượng ngụ ý rằng tên lửa phải chuyển động theo hướng ngược lại. Đó cũng chính là cách mà tên lửa vận hành trong chân không.

Momen động lượng cũng tương tự, nhưng nó liên quan đến sự quay hơn là vận tốc. Nó cũng đóng vai trò trung tâm trong khoa học về tên lửa, mà thực tế là toàn bộ cơ học, cả ở mặt đất cũng như trên trời. Một trong những câu hỏi khó trả lời nhất về Mặt Trăng, đó là momen động lượng của nó. Lý thuyết hiện tại cho rằng Mặt Trăng bị bắn ra do một hành tinh cỡ sao Hỏa đập vào Trái Đất khoảng 4,5 tỉ năm trước. Điều này giải thích được câu đố về momen động lượng của Mặt Trăng và cho tới tận gần đây hầu như đã được chấp nhận, nhưng bây giờ người ta lại thấy dường như trong đá của Mặt Trăng có chứa rất nhiều nước. Một vụ va chạm mạnh như thế lẽ ra đã phải làm bốc hoi hầu hết lượng nước ấy. Cho dù kết cục thực sự là thế nào đi nữa, thì ở đây momen động lượng cũng có vai trò cực kỳ quan trọng.

Vậy là phép tính vi tích phân đã vận hành. Nó đã giải được các bài toán trong vật lý và hình học, và đưa ra những câu trả lời chính xác. Nó còn dẫn ta tới các khái niệm vật lý mới và co bản như năng lượng và động lượng. Nhưng điều đó chưa trả lời được nghi vấn của Giám mục Berkeley. Phép tính vi tích phân cần phải vận hành như toán học, chứ không chỉ phù hợp với vật lý. Newton và Leibniz đều hiểu rằng cả o và dx không thể vừa bằng 0 vừa khác 0 được. Newton mệt mỏi cố thoát ra khỏi cái bẫy logic này bằng cách sử dụng hình ảnh vật lý của dòng chảy (fluxion). Leibniz thì nói về các đại lượng vô cùng bé. Cả hai đều ám chỉ đến các đại lượng tiến dần đến 0 nhưng không bao giờ đạt tới đó, vậy thì chúng là gì? Trớ trêu thay, sự chế giễu của Berkeley về “bóng ma của các đại lượng biến mất” lại gần như đã tiến sát tới lời giải của vấn đề này, nhưng cái mà ông đã không tính đến - điều mà cả Newton và Leibniz đều nhấn mạnh - đó là các đại lượng này biến mất bằng cách nào. Làm cho chúng biến mất một cách đúng đắn, là bạn có thể bỏ lại một bóng ma đã được hình thành một cách hoàn hảo. Nếu cả Newton và Leibniz trình bày trực quan của họ theo một ngôn ngữ toán học chặt chẽ, thì có lẽ Berkeley đã hiểu được những kết quả mà họ thu được.

Khi các nhà toán học trở lại với logic của phép tính vi tích phân, họ nhận ra rằng câu hỏi trung tâm có vẻ như đơn giản này lại chính là trái tim của vấn đề. Khi chúng ta nói rằng o tiến gần đến 0, ta hàm ý rằng với bất kỳ số dương khác 0 nào, ta đều có thể chọn được o bé hơn số đó. (Điều này là hiển nhiên: lấy o bằng nửa số đó chẳng hạn). Tương tự, khi ta nói 2x + o tiến đến 2x, ta hàm ý rằng hiệu của chúng tiến tới 0, theo nghĩa vừa nói ở trên. Vì hiệu số đó, trong truờng hợp này, tình cờ lại chính bằng o, nên nó thậm chí còn hiển nhiên hơn: bất kể “tiến đến 0” mang ý nghĩa gì, thì cũng rõ ràng là o tiến đến 0 khi o tiến đến 0. Một hàm phức tạp hơn hàm bậc hai sẽ đòi hỏi phân tích phức tạp hơn.

Câu trả lời cho câu hỏi then chốt này chính là phải phát biểu các quá trình theo ngôn ngữ hình thức của toán học, và tránh ý tưởng “trôi đi” cùng nhau. Bước đột phá này đã xuất hiện thông qua các công trình của nhà toán học và thần học Bohemia Bernard Bolzano và nhà toán học Đức Karl Weierstrass. Công trình của Bolzano xuất hiện năm 1816, nhưng chỉ được đánh giá cao vào năm 1870 khi Weierstrass mở rộng cho cả các hàm phức. Câu trả lời của họ cho Berkeley là khái niệm giới hạn. Một hàm f(h) của biến h tiến tới giới hạn L khi h tiến tới 0 nếu, với bất kỳ số dương cho trước nào, hiệu số giữa f(h) và L có thể nhỏ hơn số đó bằng cách chọn giá trị khác 0 đủ nhỏ của h. Viết dưới dạng ký hiệu, ta có:

Ý tưởng trung tâm của giải tích là lấy xấp xỉ độ thay đổi của một hàm trên một khoảng nhỏ h, rồi sau đó lấy giới hạn khi h tiến tới 0. Với một hàm tổng quát y = f(x), phương pháp này dẫn tới một phương trình mà ta đã dùng để trang trí cho phần mở đầu của chưong này, nhưng ở đây sử dụng biến tổng quát x thay vì thời gian:

Trên tử số chúng ta thấy độ thay đổi của hàm f; dưới mẫu số là độ thay đổi của x. Phương trình này định nghĩa f’(x) một cách duy nhất, nếu giới hạn tồn tại. Điều này cần phải được chứng minh cho bất kỳ hàm nào được xét đến: giới hạn tồn tại cho hầu hết các hàm thông thường như: bậc hai, bậc ba, các lũy thừa bậc cao hơn, logarit, hàm mũ, và các hàm lượng giác.

Như vậy, trong quá trình tính toán, không có trường hợp nào chúng ta phải chia cho số 0 cả, bởi vì chúng ta không bao giờ đặt h = 0. Hơn nữa, cũng chẳng có gì thực sự trôi đi ở đây. Vấn đề là khoảng giá trị mà h biến thiên, chứ không phải là nó biến thiên như thế nào trong khoảng đó. Do vậy, sự châm biếm của Berkeley là hoàn toàn chính xác. Giới hạn L chính là bóng ma của các đại lượng biến mất, tức h của tôi, và o của Newton. Nhưng cách biến mất của các đại lượng này - tiến đến 0, nhưng không đạt tới giá trị ấy - đã dẫn tới một bóng ma được định nghĩa hoàn hảo về mặt ý nghĩa và logic.

Phép tính vi tích phân bây giờ đã có một cơ sở logic vững chắc. Nó xứng đáng, và đã có được, một cái tên phản ánh địa vị mới của mình: giải tích.

Liệt kê tất cả các lĩnh vực mà giải tích có thể được ứng dụng là một nhiệm vụ bất khả thi, chẳng khác nào bắt liệt kê tất cả mọi thứ trên thế giới phụ thuộc vào việc sử dụng một cái vặn đinh ốc. Ở một mức độ tính toán đơn giản, những ứng dụng của giải tích bao gồm việc tính độ dài của đường cong, diện tích của các mặt và các hình dạng phức tạp, thể tích của các hình khối, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và khối tâm của vật. Kết hợp với các định luật của cơ học, giải tích giúp ta tìm ra quỹ đạo của tên lửa không gian, ứng suất trong đá ở một đói hút chìm có thể tạo ra động đất, kiểu dao động của một tòa nhà cao tầng khi xảy ra động đất, một ôtô nảy lên nảy xuống thế nào khi bị xóc, thời gian cần để một vi khuẩn gây bệnh lan truyền, cách thức lành vết thương phẫu thuật, và lực tác dụng lên một cây cầu treo khi có gió mạnh.

Rất nhiều các ứng dụng như thế xuất phát từ cấu trúc sâu sắc của các định luật Newton: chúng là các mô hình của tự nhiên được phát biểu dưới dạng các phương trình vi phân. Đó là những phương trình bao gồm các đạo hàm của một ẩn hàm, và phải dùng các kỹ thuật của giải tích để giải chúng. Giống như dụng cụ vặn đinh ốc, giải tích đơn giản là công cụ không thể thay thế trong bộ công cụ của các kỹ sư và nhà khoa học. Hơn bất kỳ một kỹ thuật toán học nào khác, nó đã sáng tạo ra thế giới hiện đại.

 

Nguồn: Tạp Chí Và Tư Liệu Toán Học

Source: Seventeen Equations that Changed the World - Ian Stewart

 

👍 𝐒𝐮𝐛𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐞 𝐮𝐬 𝐨𝐧 𝐘𝐨𝐮𝐓𝐮𝐛𝐞

https://www.youtube.com/channel/UCDToQcZaZi0YAjAPxvv9S8g

👍 𝐅𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰 𝐮𝐬 𝐨𝐧 𝐅𝐚𝐜𝐞𝐛𝐨𝐨𝐤

https://www.facebook.com/GiaSuThanhThang

👍 𝐉𝐨𝐢𝐧 𝐨𝐮𝐫 𝐨𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚 𝐜𝐡𝐚𝐧𝐧𝐞𝐥𝐬 𝐚𝐧𝐝 𝐬𝐭𝐚𝐲 𝐮𝐩𝐝𝐚𝐭𝐞𝐝

https://qrco.de/studycare

 

*****

Gia Sư Thành Thắng | StudyCare

The more we care - The more you succeed

• Dạy kèm Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh theo chương trình phổ thông Quốc Gia và chương trình học các cấp của các trường Quốc Tế.
• Luyện thi chuyển cấp lớp 9 lên lớp 10, luyện thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, Luyện thi Đại Học.
• Giảng dạy và luyện thi IELTS - TOEIC - TOEFL - PTE - SAT - ACT - GMAT - GRE và các chứng chỉ Quốc Tế.

 

📌 72/53 Nguyễn Văn Thương, Phường 25, Quận Bình Thạnh, TP.HCM (click to see us on GG map)

Website: https://studycare.edu.vn/

Điện thoại: (028).353.66566

Zalo: 098.353.1175

Brochure: https://drive.google.com/file/d/1nUbv7rFdBNRDXDRd5nw2IHRNE-7QSLDn/view?usp=sharing