Bài 5: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ FRE-NEN

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một vectơ quay. Véc tơ này có:

+ gốc tại gốc tọa độ của trục Ox

+ có độ dài bằng biên độ dao động A

+ hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu φ (chọn chiều dương là chiều dương của vòng tròn lượng giác)

2. Phương pháp giản đồ Fre-nen: Lần lượt vẽ hai vec tơ quay biểu diễn hai phương trình dao động thành phần. Vectơ tổng của hai vectơ thành phần biểu diễn phương trình của dao động tổng hợp

3. Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với các phương trình:

\[{x_1} = {A_1}cos(\omega t + {\varphi _1}){\rm{ }} và  \;{x_2} = {A_2}cos(\omega t + {\varphi _2})\]

Thì dao động tổng hợp sẽ là: \[x = {x_1} + {x_2} = Acos(\omega t + \varphi )\] với A và φ được xác định bởi:

\[\begin{array}{l}
{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})\\
\tan \varphi  = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}
\end{array}\]

4. Ảnh hưởng của độ lệch pha

- Từ công thức trên ta thấy biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ A1,A2 và độ lệch pha (φ2−φ1) của dao động thành phần.

- Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức \[\Delta \varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}{\varphi _2} - {\varphi _1} = 2n,\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)\;\] thì biên độ dao động tổng hợp lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: A=A1+A2

- Nếu các dao động thành phần ngược  pha, tức \[\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \left( {2n + 1} \right)\pi ,{\rm{ }}\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,...} \right)\;\] thì biên độ dao động tổng hợp lớn nhất và bằng hiệu hai biên độ: \[A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right|\;\]

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa \[{x_1}\; = {\rm{ }}3cos\left( {4\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /6} \right)\] cm và \[{x_2}\; = {\rm{ }}3cos\left( {4\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /2} \right)\] cm. Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên?

Giải:

Ta có: dao động tổng hợp có dạng: \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right){\rm{ }}cm\]

Trong đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1}) = ... = 3\sqrt 3 \,cm}\\
{\tan \varphi {\rm{ \;}} = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = ... = \sqrt 3 \,cm \Rightarrow \varphi  = \frac{\pi }{3}}
\end{array}\]

Phương trình dao động cần tìm là \[x{\rm{ }} = {\rm{ }}3\surd 3cos\left( {4\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right){\rm{ }}cm\]

Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa với biên độ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Biên độ của dao động tổng hợp là bao nhiêu?

Giải:

Ta có: \[\left| {{A_1}\; - {\rm{ }}{A_2}\;} \right|{\rm{ }} \le {\rm{ }}A{\rm{ }} \le {\rm{ }}{A_1}\; + {\rm{ }}{A_2}\]

⇒ \[2{\rm{ }}cm{\rm{ }} \le {\rm{ }}A{\rm{ }} \le {\rm{ }}8{\rm{ }}cm\]

Bài 3: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với phương trình lần lượt là \[{x_1}\; = {\rm{ }}4cos\left( {6\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right);{\rm{ }}{x_2}\; = {\rm{ }}cos\left( {6\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi } \right){\rm{ }}cm\]. Hãy xác định vận tốc cực đại mà dao động có thể đạt được.

Bài 4: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp\[x{\rm{ }} = {\rm{ }}5\surd 2{\rm{ }}cos\left( {\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}5\pi /12} \right)\] với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là \[{x_1}\; = {A_1}\;cos\left( {\pi t + \pi 1} \right)\] và \[{x_2}\; = 5cos\left( {\pi t + \pi /6} \right)\], pha ban đầu của dao động 1 là bao nhiêu?

Bài 5: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là \[{x_1}\; = 3cos10t\left( {cm} \right)\] và \[{x_2}\; = 4sin\left( {10t + \pi /2} \right)\left( {cm} \right)\]. Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng bao nhiêu?

Bài 6: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là}  \[{x_1}\; = 5cos\left( {10t} \right)\] và \[{x_2}\; = 10cos\left( {10t} \right)\] (\[{x_1}\;\] và \[{x_2}\;\] tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng bao nhiêu?

Bài 7: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là \[{x_1}\; = 4cos\left( {10t + \pi /4} \right)\left( {cm} \right)\] và \[{x_2}\; = 3cos\left( {10t - 3\pi /4} \right)\left( {cm} \right)\]. Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là bao nhiêu?

Bài 8: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương có phương trình lần lượt là \[{x_1}\; = Acos\omega t\] và \[{x_2}\; = Asin\omega t\]. Biên độ dao động của vật là bao nhiêu?

Bài 9: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng nhau và bằng A nhưng pha ban đầu lệch nhau \[\pi /3{\rm{ }}rad\]. Dao động tổng hợp có biên độ là bao nhiêu?  

Bài 10: Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: \[{x_1}\; = 5cos5\pi t\left( {cm} \right);{x_2}\; = 3cos\left( {5\pi t + \pi /2} \right)\left( {cm} \right)\] và \[{x_3}\; = 8cos\left( {5\pi t - \pi /2} \right)\left( {cm} \right).\] Xác định phương trình dao động tổng hợp của vật.