Bài 3: Con lắc đơn

I. Tóm tắt lý thuyết:

A. Với con lắc đơn, thành phần lực kéo vật về vị trí cân bằng là

\[{P_1} =  - mg\frac{s}{l} = ma\]

Trong đó, s là li độ cong của vật đo bằng mét (m), l là chiều dài của con lắc đơn đo bằng mét (m).

Đó là phương trình động lực học của con lắc đơn

B. Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình: 

\[s = {S_0}cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\] hoặc \[\;\alpha  = {\alpha _0}cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\]; với \[a = \frac{s}{l}\] và \[{a_0} = \frac{{{s_0}}}{l}\]

C. Chu kì, tần số, tần số góc: 

 \[T = 2\pi \sqrt {\frac{1}{g}} ;\,\,f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} ;\,\,\omega  = \sqrt {\frac{g}{l}} \]

Trong đó:

\[g\] là gia tốc rơi tự do (m/s2),

\[l\] là chiều dài của con lắc (m).

D. Năng lượng của con lắc đơn

- Động năng: \[{W_đ} = \frac{1}{2}m{v^2}\]

- Thế năng: \[Wt{\rm{ }} = {\rm{ mgl}}\left( {1 - cos\alpha } \right)\]

(mốc tính thế năng tại vị trí cân bằng)

- Cơ năng: \[W{\rm{ }} = {\rm{ }}{W_đ}{\rm{ }} + {\rm{ }}{W_t} = \,\frac{1}{2}m{v^2}\, + mgl\left( {1 - cos\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}mgl\left( {1 - cos{\alpha _0}} \right)\;\] = hằng số

- Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua lực ma sát.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2},{\rm{ }}{\pi ^2}\; = {\rm{ }}10\]. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc \[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}0,05{\rm{ }}rad\] và vận tốc v = - 15,7 cm/s

Giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\omega  = \,\frac{{2\pi }}{T}\, = \,\pi ;\,l = \,\frac{g}{{{\omega ^2}}} = 1\,m\, = 100\,cm\\
{S_0} = \sqrt {{{(\alpha l)}^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}}  = 5\sqrt 2 
\end{array}\]

\[\cos \varphi  = \sqrt {\frac{{al}}{{{S_0}}}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos ( \pm \frac{\pi }{4});\]  vì \[v < 0\] nên \[\varphi  = \frac{\pi }{4}\]

Vậy \[s = 5\sqrt 2 \cos (\pi t + \frac{\pi }{4})\,cm\]

Bài 2: Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20°C và tại nơi có gia tốc trọng trường \[9,813{\rm{ }}m/{s^2}\], thanh treo có hệ số nở dài là 17.10-6K-1. Đưa con lắc đến nơi có gia tốc trọng trường là \[9,809{\rm{ }}m/{s^2}\;\] và nhiệt độ 30°C thì chu kì dao động là bao nhiêu ?

Giải:

Chu kì dao động của con lắc đơn:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} ;\,T' = 2\pi \sqrt {\frac{{l'}}{{g'}}} ;\]

Với \[l'\, = l(1 + \alpha \Delta {t^0}) = l(l + 10\alpha )\]

Do \[\alpha \, <  < 1\,\] nên \[\sqrt {1 + 10\alpha }  \approx 1 + \frac{{l'}}{2}10\alpha  = 1 + 5\alpha \]

\[\begin{array}{l}
T' = (1 + 5\alpha )T\sqrt {\frac{g}{{g'}}}  = (1 + {5.17.10^{ - 6}}).2.\sqrt {\frac{{9,813}}{{9,809}}} \\
 \approx 2,00057778\,(s) \approx 2,0006\,(s)
\end{array}\]

Bài 3: Cho con lắc đơn dao động trước mặt một con lắc của đồng hồ gõ giây (có chu kì dao động là 2s). Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những hai lần con lắc đó chuyển động cùng chiều và đi qua vị trí cân bằng cùng một lúc ( gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy hai lần trùng phùng kế tiếp cách nhau 9 phút 30 giây. Biết chiều dài của con lắc là l = 1m. Hãy xác định gia tốc rơi tự do g tại vị trí đặt của con lắc.

Giải:

Vì con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ ( nghĩa là trong cùng một khoảng thời gian số dao động của nó nhỏ hơn số dao động của con lắc đồng hồ), cho nên trong khoảng thời gian Δt = 9 phút 30 giây

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{V\`i {\rm{ }}T{\rm{ }} > {\rm{ }}2{\rm{ }}n\^e n{\rm{ }}\Delta t{\rm{ }} = {\rm{ }}NT{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {N{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){T_o}\; \to {\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta t/{T_o}\; = {\rm{ }}\Delta T/T{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} \to {\rm{ }}1/T{\rm{ }} = {\rm{ }}1/{T_o}\;--{\rm{ }}1/\Delta t}\\
{ \to {\rm{ }}T{\rm{ }} = {\rm{ }}2,0068{\rm{ }}s.}
\end{array}\]

Gia tốc trọng trường tại nơi quan sát:

\[\begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  \to g = \frac{{l{{(2\pi )}^2}}}{{{T^2}}} = 9,791m/{s^2}.\\
\left\{ \begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}  = \frac{\pi }{5}s\\
\left| {\overline v } \right| = \frac{{4A}}{T} \Rightarrow \frac{{160}}{{\frac{\pi }{5}}} \Rightarrow A = 8(cm)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow W = \frac{{k{A^2}}}{2} = \frac{{20.0,{{08}^2}}}{2} = 0,064\,(J)
\end{array}\]

Bài 4: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m, đầu trên treo vào trần nhà, đầu dưới gắn với vật có khối lượng m = 0,1 kg. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một góc α = 0,05 rad và buông tay không vận tốc đầu cho vật dao động. Biết \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\]. Hãy xác định động năng của con lắc khi đi qua vị trí α = 0,04 rad.

Giải:

\[\begin{array}{l}
{W_đ} = W - {W_t} = mgl\frac{{\alpha _0^2}}{2} - mgl\frac{{{\alpha ^2}}}{2}\\
 = mgl(\frac{{\alpha _0^2}}{2} - \frac{{{\alpha ^2}}}{2}) = {9.10^{ - 4}}J
\end{array}\]

Bài 5: Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 9° rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy \[g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\], π2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.

Bài 6: Một con lắc đơn có độ dài \[{l_1}\] dao động với chu kỳ \[{T_1}\; = {\rm{ }}0,8{\rm{ }}s\]. Một con lắc đơn khác có độ dài \[{l_2}\] dao động với chu kỳ \[{T_1}\; = {\rm{ }}0,6{\rm{ }}s\]. Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài \[{l_1}\; + {\rm{ }}{l_2}\;\] là bao nhiêu ?

Bài 7: Một con lắc lò xo và một con lắc đơn, khi ở dưới mặt đất cả hai con lắc này cùng dao động với chu kì T = 2s. Đưa cả hai con lắc lên đỉnh núi (coi là nhiệt độ không thay đổi) thì hai con lắc dao động lệch chu kì nhau. Thỉnh thoảng chúng lại cùng đi qua vị trí cân bằng và chuyển động về cùng một phía, thời gian giữa hai lần liên tiếp như vậy là 8 phút 20 giây. Tìm chu kì con lắc đơn tại đỉnh núi đó.

Bài 8: Dùng các chớp sáng tuần hoàn chu kỳ 2 s để chiếu sáng một con lắc đơn đang dao động. Ta thấy, con lắc dao động biểu kiến với chu kỳ 30 phút với chiều dao động biểu kiến cùng chiều dao động thật. Chu kỳ dao động thật của con lắc là bao nhiêu ?

Bài 9: Một con lắc gồm quả cầu có khối lượng 400g và sợi dây treo không dãn có trọng lượng không đáng kể, chiều dài 0,1 (m) được treo thẳng đứng ở điểm A. Biết con lắc đơn dao động điều hòa, tại vị trí có li độ góc 0,075 (rad) thì có vận tốc \[0,075\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {m/s} \right){\rm{ }}\] Cho gia tốc trọng trường \[10{\rm{ }}\left( {m/{s^2}\;} \right)\]. Cơ năng dao động của vật bằng bao nhiêu ?    

Bài 10: Treo một vật trong lượng 10 N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi phương thẳng đứng một góc α0 và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 20 N. Để dây không bị đứt, góc α0 không thể vượt quá bao nhiêu ?