Bài 15: Công suất điện tiêu thụ của mạch điện xoay chiều. Hệ số công suất

I. Tóm tắt lý thuyết:

A. Công suất của mạch điện xoay chiều

1. Biểu thức công suất

Xét một mạch điện xoay chiều hình sin có:

- Điện áp tức thời hai đầu mạch: \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}U\sqrt 2 cos\omega t\]

- Cường độ dòng điện tức thời trong mạch: \[i = I\sqrt 2 cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\]

- Công suất tức thời trên đoạn mạch là:

\[P{\rm{ }} = {\rm{ }}u.i{\rm{ }} = {\rm{ }}2UIcos\omega t.cos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}UI\left[ {cos\varphi {\rm{ }} + {\rm{ }}cos\left( {2\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)} \right]\]

- Giá trị trung bình của công suất tiêu thụ trong một chu kì T:

\[P{\rm{ }} = \;\overline p  = {\rm{ }}UI\left[ {cos\varphi {\rm{ }} + {\rm{ }}cos\left( {2\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}UIcos\varphi \]

Suy ra công thức tính công suất tiêu thụ trung bình của mạch điện xoay chiều trong một thời gian dài nếu điện áp hiệu dụng và cường độ hiệu dụng không đổi là:

\[P{\rm{ }} = {\rm{ }}UIcos\varphi \]

2. Điện năng tiêu thụ của mạch điên

Điện năng tiêu thụ của mạch điện trong thời gian T là: \[W = P.t\]

B. Hệ số công suất

1. Biểu thức của hệ số công suất

Trong công thức: \[P{\rm{ }} = {\rm{ }}UIcos\varphi \] thì cosφ được gọi là hệ số công suất.

Vì \[\left| \varphi  \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}{90^0} \Rightarrow 0{\rm{ }} \le {\rm{ }}cos\varphi {\rm{ }} \le 1\]

2. Tầm quan trọng của hệ số công suất trong quá trình cung cấp và sử dụng điện năng

Công suất tiêu thụ trung bình của các thiết bị điện trong nhà máy cho bởi:

\[P{\rm{ }} = {\rm{ }}UIcos\varphi ,{\rm{ }}cos\varphi {\rm{ }} > {\rm{ }}0\]

Suy ra:  \[I = \frac{P}{{U\cos \varphi }}\] nên công suất hao phí trên đường dây tải (có điện trở r) là:

\[{P_{hp}} = r{I^2} = \frac{{r.{P^2}}}{{{U^2}{{\cos }^2}\varphi }}\]

Nếu hệ số công suất nhỏ thì công suất hao phí trên đường dây sẽ lớn, vì vậy người ta phải tìm cách nâng cao hệ số.

3. Tính hệ số công suất của mạch điện RLC nối tiếp

\[\cos \varphi  = \frac{{{U_R}}}{U}\] hay \[\cos \varphi  = \frac{R}{Z}\]

Công suất trung bình tiêu thụ trong một mạch điện xoay chiều bất kì được tính bởi:

\[P{\rm{ }} = {\rm{ }}UIcos\varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}{I^2}R\]

=> Công suất tiêu thụ trong mạch điện có R,L,C mắc nối tiếp bằng công suất tỏa nhiệt trên R.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Đặt điện áp \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}100\surd 2cos\left( {100\pi t} \right)\] vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh với L, R có độ lớn không đổi và \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}1/20\pi \] mF. Khi đó hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu mỗi phần tử R, L và C có độ lớn như nhau. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch là bao nhiêu ?

Giải:

Do điện áp hai đầu mỗi phần tử bằng nhau nên ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{U_R}\; = {\rm{ }}{U_L}\; = {\rm{ }}{U_C}}\\
{ \to {\rm{ }}I.{\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}I.{\rm{ }}{Z_L}\; = {\rm{ }}I.{\rm{ }}{Z_C}}\\
{ \to {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}{Z_L}\; = {\rm{ }}{Z_C}}
\end{array}\]

Khi đó hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra.

Mà \[{Z_C}\; = {\rm{ }}1/{\rm{ }}\omega C\] nên \[R{\rm{ }} = {\rm{ }}200\Omega \] .

Công suất tiêu thụ của đoạn mạch:

\[P = {I^2}R = \frac{{{U^2}.R}}{{({R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2})}} = \frac{{{U^2}.R}}{{{R^2}}} = \frac{{{U^2}}}{R} = 50W\]

Bài 2: Khi có một dòng điện xoay chiều chạy qua cuộn dây có điện trở thuần 50 Ω thì hệ số công suất của cuộn dây bằng 0,8. Cảm kháng của cuộn dây đó bằng bao nhiêu ?

Giải:

Áp dụng công thức tính hệ số công suất ta có:

\[\begin{array}{l}
\cos \varphi  = \frac{R}{Z} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }} = 0,8\\
 \Rightarrow {R^2} + Z_L^2 = \frac{{{R^2}}}{{0,8{}^2}}\\
 \Rightarrow {Z_L} = \sqrt {\frac{{{R^2}}}{{0,{8^2}}} - {R^2}} \\
 \Rightarrow {Z_L} = \sqrt {\frac{{{{50}^2}}}{{0,{8^2}}} - {{50}^2}}  = 37,5\,\Omega 
\end{array}\]

Bài 3: Đặt một điện áp \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}120\sqrt 6 cos\left( {100\pi t} \right)\] vào hai đầu một đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Biết R = 50 Ω, độ lệch pha giữa điện áp ở hai dầu đoạn mạch và cường độ dòng điện trong mạch là \[\pi /6\]. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch là bao nhiêu ?

Bài 4: Đặt điện áp \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}{U_o}cos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right)\] (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp. Biết cường độ dòng điện trong mạch có biểu thức \[i{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt 6 \left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /6} \right)\] (A) và công suất tiêu thụ của đoạn mạch bằng 150 W. Giá trị \[{U_o}\] bằng bao nhiêu ?

Bài 5: Đặt điện áp \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}400cos\left( {100\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi /3} \right)\] (V) vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp có R = 200 Ω, thấy dòng điện và hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch lệch pha nhau 60°. Tìm công suất tiêu thụ của đoạn mạch?

Bài 6: Cho đoạn mạch RLC, đặt vào đoạn mạch điện áp xoay chiều \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}U\sqrt 2 cos100\pi t\] (V). Khi U = 100 V thì cường độ dòng điện trong mạch trễ pha hơn điện áp là \[\pi /3\] và công suất tỏa nhiệt của đoạn mạch là 50 W. Khi \[U{\rm{ }} = {\rm{ }}100\sqrt 3 \] V, để cường độ dòng điện hiệu dụng vẫn như cũ thì cần ghép nối tiếp với đoạn mạch trên điện trở \[{R_0}\;\] có giá trị bao nhiêu ?

Bài 7: Đặt điện áp xoay chiều \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}U\sqrt 2 cos\left( {\omega t} \right)\] vào hai đầu đoạn mạch RLC mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm). Khi nối tắt tụ C thì điện áp hiệu dụng trên điện trở R tăng 2 lần và dòng điện trong hai trường hợp này vuông pha nhau. Hệ số công suất của đoạn mạch lúc sau bằng bao nhiêu ?

Bài 8: Một mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm tụ điện có điện dung C, điện trở thuần R và cuộn cảm thuần có cảm kháng 80 Ω. Độ lớn hệ số công suất của đoạn mạch RC bằng hệ số công suất của cả mạch và bằng 0,6. Điện trở thuần R có giá trị bao nhiêu ?

Bài 9: Mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây mắc nối tiếp với tụ điện. Các điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch 120 V, ở hai đầu cuộn dây 120 V và ở hai đầu tụ điện 120 V. Hệ số công suất của mạch là bao nhiêu ?

Bài 10: Một đoạn mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh, cuộn dây có điện trở thuần. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch, trên điện trở R, trên cuộn dây và trên tụ lần lượt là 75 (V), 25 (V), 25 (V) và 75 (V). Hệ số công suất của toàn mạch là bao nhiêu?