Bài 13 – 14: Các mạch điện xoay chiều và mạch R,L,C mắc nối tiếp

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Các mạch điện xoay chiều

2. Mạch R,L,C mắc nối tiếp

Điện áp và tổng trở của mạch

\[\left\{ \begin{array}{l}
U = \sqrt {U_R^2 + {{({U_L} - {U_C})}^2}} \;\\
Z = \sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} 
\end{array} \right. \to {U_0} = \sqrt {U_{0R}^2 + {{({U_{0L}} - {U_{0C}})}^2}} \]

Định luật Ohm cho mạch

\[\left\{ \begin{array}{l}
I = \frac{U}{Z} = \frac{{\sqrt {U_R^2 + {{({U_L} - {U_C})}^2}} }}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} }} = \frac{{{U_R}}}{R} = \frac{{{U_L}}}{{{Z_L}}} = \frac{{{U_C}}}{{{Z_C}}} = \frac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}\\
{I_0} = \frac{{{U_0}}}{Z} = \frac{{\sqrt {U_{0R}^2 + {{({U_{0L}} - {U_{0C}})}^2}} }}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} }} = \frac{{{U_{0R}}}}{R} = \frac{{{U_{0L}}}}{{{Z_L}}} = \frac{{{U_{0C}}}}{{{Z_C}}} = I\sqrt 2 
\end{array} \right.\]

Độ lệch pha của điện áp và cường độ dòng điện trong mạch là φ, được cho bởi: 

\[\begin{array}{l}
\tan \varphi  = \frac{{{U_L} - {U_C}}}{{{U_R}}} = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\\
\varphi  = {\varphi _u} - {\varphi _i}
\end{array}\]

 

 - Khi \[{U_L} > {\rm{ }}{U_C}\;\] hay \[{Z_L} > {\rm{ }}{Z_C}\;\] thì u nhanh pha hơn i góc φ (Hình 1). Khi đó ta nói mạch có tính cảm kháng.

- Khi  \[{U_L} < {\rm{ }}{U_C}\;\] hay \[{Z_L} < {\rm{ }}{Z_C}\;\]  thì u chậm pha hơn i góc φ. Khi đó ta nói mạch có tính dung kháng.

 Giản đồ véc tơ (Giản đồ Frenen):

Hiện tượng cộng hưởng

Khi \[{Z_L}{\rm{ =  }}{Z_C}\; \Leftrightarrow \omega L = \frac{1}{{\omega C}} \Leftrightarrow {\omega ^2}LC = 1\] thì \[\tan \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = 0\] suy ta dòng điện i cùng pha với điện áp u.

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}
{Z_{\min }} = R\\
{I_{\max }} = \frac{U}{R}
\end{array} \right.\]

=> Đó là hiện tượng cộng hưởng.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài 1: Cho đoạn mạch xoay chiều gồm R = 40Ω cuộn cảm thuẩn có độ tự cảm\[L{\rm{ }} = {\rm{ }}0,4/\pi {\rm{ }}H\] và tụ điện có điện dung \[{10^{ - 4\pi }}\left( F \right)\] mắc nối tiếp. Hai đầu đoạn mạch mắc vào nguồn xoay chiều có tần số 50Hz. Tổng trở của mạch là bao nhiêu ?

Giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\omega  = 2\pi f = 2\pi .50 = 100\pi \,(rad/s)\\
{Z_L} = \omega L = 100\pi .\frac{{0.4}}{\pi } = 40\,\Omega \\
{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = \frac{1}{{\frac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }.100\pi }} = 100\,\Omega 
\end{array}\]

Áp dụng công thức về tổng trở ta có:

\[Z = \sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}}  = \sqrt {{{40}^2} + {{(100 - 40)}^2}}  = 20\sqrt {13} \,\Omega  \approx 72\Omega \]

Bài 2: Khi đặt hiệu điện thế u = 120√2cos100πt (V) vào 2 đầu đoạn mạch nối tiếp gồm điện trở 150Ω , tụ điện có điện dung 200μ/π F và cuộn cảm thuần có độ tự cảm 2/π H . Biểu thức cường độ dòng điện trong đoạn mạch là ?

Giải:

\[{Z_L} = \omega L = 200\,\Omega ;\,{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = 50\,\Omega ;\,Z = \sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}}  = 150\sqrt 2 \Omega \]

Cường độ dòng điện cực đại:

\[{I_0} = \frac{{{U_0}}}{Z} = 0,8\,(A)\]

Độ lệch pha giữa u và i:

\[{\tan \varphi {\rm{ \;}} = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = 1 \to \varphi  = \frac{\pi }{4} \to \varphi {\rm{ \;}} = {\varphi _u} - {\varphi _i} = 0 - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4}}\]

Suy ra phương trình:

\[i = 0,8\cos \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\,\,(A)\]

Bài 3: Một đoạn mạch gồm R = 50 Ω , cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}{2.10^{ - 4}}\;/{\rm{ }}\pi {\rm{ }}F\] mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có điện trở hiệu dụng 110V, tần số 50Hz thì thấy u và i cùng pha với nhau. Tính độ tự cảm của cuộn cảm và công suất tiêu thụ của mạch.

Giải:

\[{Z_C}\; = {\rm{ }}1{\rm{ }}/{\rm{ }}2\pi fC{\rm{ }} = {\rm{ }}50\Omega \] . Để u và i cùng pha thì phải xảy ra hiện tượng cộng hưởng.

Khi đó: \[{Z_L}\; = {\rm{ }}{Z_C}\; = {\rm{ }}50\Omega  \Rightarrow L{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}/{\rm{ }}2\pi {\rm{ }}H\]

Công suất tiêu thụ đạt giá trị cực đại: \[P{\rm{ }} = {\rm{ }}{P_{max}}\; = {\rm{ }}{U^2}\;/{\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}242{\rm{ }}W\]

Bài 4: Mạch điện nối tiếp gồm điện trở R = 60 (Ω), cuộn dây có điện trở thuần r = 40(Ω) có độ tự cảm \[L{\rm{ }} = {\rm{ }}0,4/\pi {\rm{ }}\left( H \right)\] và tụ điện có điện dung \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}1/\left( {14\pi } \right){\rm{ }}\left( {mF} \right)\]. Mắc mạch vào nguồn điện xoay chiều tần số góc 100π (rad/s). Tổng trở của mạch điện là bao nhiêu?

Bài 5: Một mạch điện mắc nối tiếp theo đúng thứ tự gồm điện trở thuần R = 30 Ω, tụ điện 1 có điện dung \[{C_1}\; = {\rm{ }}1/\left( {3\pi } \right){\rm{ }}\left( {mF} \right)\] và tụ điện 2 có điện dung \[{C_2}\; = {\rm{ }}1/\pi \left( {mF} \right)\]. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}100\sqrt 2 cos100\pi t{\rm{ }}\left( V \right)\]. Cường độ hiệu dụng trong mạch là bao nhiêu?

Bài 6: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi lần lượt vào hai đầu điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch tương ứng là 0,25A; 0,5A; 0,2A. Nếu đặt điện áp xoay chiều này vào hai đầu đoạn mạch gồm ba phần tử trên mắc nối tiếp thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch là bao nhiêu?

Bài 7: Đặt điện áp \[u{\rm{ }} = {\rm{ }}100cos\left( {100\pi t} \right)\] (V) vào 2 đầu mạch điện RLC nối tiếp. Điện trở \[R{\rm{ }} = {\rm{ }}50\sqrt 3 \,\Omega \] , L là cuộn dây thuần cảm có \[L{\rm{ }} = {\rm{ }}1/\pi {\rm{ }}H\] , điện dung C = 10-3/5π F , viết biểu thức điện áp 2 đầu RC?

Bài 8: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R = 10Ω , cuộn dây thuần cảm L và tụ điện \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}{10^{ - 3}}/2\pi {\rm{ }}F\] mắc nối tiếp. Biểu thức của điện áp giữa 2 bản tụ là \[{u_C}\; = {\rm{ }}50\surd 2cos\left( {100\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}0,75\pi } \right)\left( V \right)\] . Viết biểu thức cường độ dòng điện chạy trong mạch?

Bài 9: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200 V và tần số không đổi vào hai đầu A và B của đoạn mạch mắc nối tiếp theo thứ tự gồm biến trở R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi. Gọi N là điểm nối giữa cuộn cảm thuần và tụ điện. Các giá trị R, L, C hữu hạn và khác không. Với \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}{C_1}\;\] thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu biến trở R có giá trị không đổi và khác không khi thay đổi giá trị R của biến trở. Với \[C{\rm{ }} = {\rm{ }}{C_1}/2\] thì điện áp hiệu dụng giữa A và N bằng bao nhiêu?

Bài 10: Một cuộn dây có điện trở thuần 100 (Ω) và có độ tự cảm \[1/\pi \] (H), nối tiếp với tụ điện có điện dung \[500/\pi \] (μF). Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều tần số 50 (Hz). Để dòng điện trong mạch cùng pha với điện áp ta phải ghép nối tiếp với tụ \[C\] một tụ \[{C_1}\;\] có điện dung là bao nhiêu?